FE Heterogeneous multiscale method for long time wave propagation

A new finite element heterogeneous multiscale method (FE-HMM) is proposed for the numerical solution of the wave equation over long times in a rapidly varying medium. Our FE-HMM captures long-time dispersive effects of the true solution at a cost similar to that of a standard numerical homogenization scheme which, however, only captures the short-time macroscale behavior of the wave field. Résumé Méthode d’éléments finis multi-échelles pour l’équation des ondes dans des milieux hétérogènes sur des temps longs. Dans cet article nous proposons une nouvelle méthode d’éléments finis multi-échelles pour la solution de l’équation des ondes dans des milieux hétérogènes sur des temps longs. Cette méthode numérique est capable d’approcher le comportement effectif de la solution sur des temps long avec un coût identique à celui d’une méthode d’homogénéisation numérique standard qui ne peut capturer le comportement effectif de la solution que sur des temps courts. Version française abrégée Dans cet article nous proposons une méthode d’éléments finis multi-échelles pour la solution de l’équation des ondes dans des milieux hétérogènes (1) sur des temps longs. La résolution numérique efficace de ce type de problème est importante pour de nombreuses applications (imagerie médicale, inversion sismique, comportement élastique d’un matériau composite, etc.). L’homogénéisation de l’équation (1) est classique [6] et consiste à trouver une équation effective, où le teme ∇ · (aε∇uε) de (1) est remplacé par ∇ · ( a0∇u0 ) . Nous rappelons que le tenseur homogénéisé a est obtenu, dans le cas (localement) périodique, par une Email addresses: [email protected] (Assyr Abdulle), [email protected] (Marcus J. Grote), [email protected] (Christian Stohrer). URLs: http://anmc.epfl.ch/abdulle.html (Assyr Abdulle), http://math.unibas.ch/grote (Marcus J. Grote), http://math.unibas.ch/stohrer (Christian Stohrer). moyenne appropriée de la solution de problèmes microscopiques en chaque point x du domaine Ω. Une méthode d’homogénéisation numérique pour (1) a été proposée dans [4] avec un coût indépendant de ε. Fixons maintenant T0 > 0 et considérons la solution u ε de (1) sur des temps longs, T = T0/ε . On peut alors montrer que sur des intervalles [0, T ], la solution u peut-être approchée (dans une norme L∞) avec une erreur O(ε) par la solution d’une équation effective dispersive (3) [11]. Auparavant une autre équation effective (2) avait été proposée et obtenue avec des techniques de développement formel [13]. Nous remarquons que la solution numérique par la méthode proposée dans [4] n’est pas capable d’approcher la solution effective sur des temps longs. Des méthodes numériques pour calculer la solution effective de (2) ont été proposées dans [7] (basées sur le calcul des coefficients effectifs de (2)) et dans [9] (basées sur une méthode de différences finies multi-échelles de type [1]). Le désavantage de la méthode proposée dans [9] est qu’elle nécessite des domaines microscopiques qui augmentent en taille quand ε → 0, un couplage micro-macro d’ordre élevé, et des corrections appropriées des conditions initiales. De plus, comme la solution de la méthode proposée dans [9] approche la solution d’une équation mal posée, des techniques de régularisation doivent être utilisées. La nouvelle méthode que nous proposons dans cet article est basée sur une méthode d’éléments finis multi-échelles de type [4]. Grâce à l’introduction d’un produit scalaire L modifié, cette nouvelle méthode permet d’approcher la solution dispersive de (3) sur des temps longs avec un coût identique à la méthode proposée dans [4] et bien inférieur à la méthode proposée dans [9].